В старшей школе я рвался в математический класс, но оказался в химическом. О чём не пожалел ни разу — математику у нас вёл самый сильный математик школы Борис Григорьевич Резник (или просто БГ).
«Доставайте листочки», говорил БГ, «и проводите поля. Это гарантирует вам оценку 2. Если вы напишете условия задачи, то гарантировано получаете 3. Вот задачи на 4. Те кто хочет 5, подходят за дополнительными задачами. А вот ещё одна, на 5+, для тех кто решил предыдущие.» Понимание того, что для перехода на другой уровень нужны всё возрастающие усилия очень помогло в дальнейшей жизни... а также понять что такое логарифмы.
Логарифмы нелюбимы школьниками за свою непонятность — решаешь, решаешь, а зачем — непонятно! Какое практическое применение? Оказывается, у логарифма есть множество применений, причём в различных областях наук и практики — как в хардкорной физике и химии, так и в «мягких» психологии, биологии, экономике.
Для начала, вспомним что такое логарифм? Логарифм говорит нам в какую степень нам надо возвести число a, чтобы получить другое число b. То есть решением уравнения ax=b по определению является логарифм x=loga(b). И тут начинается самое интересное.
Оказывается, что многое в нашем мире описывается не линейным соотношением, а именно логарифмической функцией. То есть важно не насколько отличаются два числа (линейная шкала), а на сколько порядков величин они различаются (логарифмическая шкала).
В физике логарифм фигурирует в термодинамической энтропии. В химии он входит в уравнение Нернста и в константу автопротолиза. Слышали в рекламе про мыло «пэаш 5 и 5»? Кто этот господин Пэаш? А это отрицательный логарифм концентрации ионов водорода в растворе,
pH=-lg([H+]), то есть, грубо говоря, показатель того, насколько много у нас там «кислотности» — чуть-чуть, немного, много, очень много.
Человеческое восприятие многих явлений хорошо описывается логарифмическим законом. Интенсивность наших ощущений пропорциональна логарифму интенсивности стимула — громкости звука, яркости света и так далее (закон Вебера--Фехнера). Так что не сильно ругайте своих тусящих детей, ставящих музыку на полную громкость — чтобы ощущения стали
немного сильнее, им приходится увеличивать громкость
в разы.
В экономике логарифмическим доходом может описываться
закон убывающей производительности — отдача на каждый дополнительный доллар вложений будет всё меньше и меньше. Для качества жизни разница между 100 и 200 долларами дохода менее значима, чем разница на порядок, между 200 и 1000 долларами. Например, два графика ниже показывают ожидаемую продолжительность жизни по вертикальной шкале и ВВП на душу населения по горизонтальной шкале. В первом графике шкала доходов линейная и какую-то корреляцию заметить трудно. Во втором случае шкала логарифмическая и ясно видна связь — при увеличении доходов на порядок продолжительность жизни увеличивается.
Второе очень важное свойство логарифмов заключается в том, что при переходе от степеней к логарифмам операция умножения заменяется операцией сложения, которая является гораздо менее трудоёмкой. Например, попробуйте умножить в столбик 8192 и 131072. И сложить 13 и 17, так как 8192=2
13 и 131072=2
17. То-то же! Ещё Архимеду было известно, что при перемножении степеней их показатели складываются, то есть a
b•a
c=a
b+c. В Индии в VIII веке были попытки сводить значения степеней в таблицы — ведь поиск по таблице пусть и приблизительного значения занимает гораздо меньше времени, чем точное численное решение. Однако, большие подвижки в этой области произошли только в XVI--XVII веке. Во-первых, математики подошли к идее, что степени могут быть не только целыми, но и произвольными рациональными (что предложил Михаэль Штифель в 1544 году в своей книге
Arithmetica integra). Во-вторых, целый ряд математиков стал использовать таблицы логарифмы для упрощения сложных операций — умножения и деления больших чисел, возведения в степени и извлечения корней. Кстати, стоит поблагодарить и ... астрологию. Именно для упрощения астрологических вычислений в конце XVI-начале XVII века шотландский математик Джон Непер рассчитал таблицы логарифмов тригонометрических функций.
Дальше развитие пошло двумя путями. Тогдашние
нерды погрузились в расчёты, добавляя дополнительные знаки после запятой в точные значения логарифмов и уточняя таблицы (как оказалось, Непер налажал и после 6 знака у него в таблицах были неверные значения). С другой стороны,
гики стали мастерить приборы для вычислений. Уже в 1622 году английский математик Уильям Отред разработал первый вариант логарифмической линейки, которая позволяла быстро делать различные сложные вычисления. В СССР, наладившем массовое производство инженеров, логарифмическая линейка была распространена повсеместно. Состояла она из двух неподвижных шкал, одной подвижной и бегунка. С её помощью, при определённой сноровке можно было выполнять базовые математические операции — умножать, делить, возводить в степени, извлекать корни и так далее.
У меня дома была такая линейка, но пользоваться ей я так и не научился — в 80-х вычислительная техника начала неумолимо выдавливать из практики этот прибор. Поступив в Университет, я первым делом купил научный калькулятор Texas Instrument (за какие-то бешеные деньги, вроде 50 тыс. купонов) и там уже были и логарифмы и регрессии и что угодно.
Ещё о логарифмах:
Статья про логарифмы на Википедии
Статья про логарифмические линейки на Википедии
Фотографии «
Логарифмическая линейка — советский калькулятор»
