Японский метод умножения

Прислали ссылку на отличное видео про японский метод умножения от небезызвестного Стаса  Давыдова.

В чем суть метода? Всё очень просто — рисуются наклонные линии, по количеству десятков и единиц. Первый множитель рисуется с левым уклоном, второй с правым, десятки левее, единицы правее. Затем отделяем самые левые пересечения, самые правые, и остаётся середина. Считаем количество точек на пересечениях и ... просто записываем результат, сотни (самая левая группа точек), десятки (серединные точки) и единицы (группа точек справа).

Метод работает и для больших двузначных чисел — в этом случае надо просто обратить внимание на перенос. В десятках у нас получается 23 десятка, 2 десятка переносим в сотни, остаётся 3 десятка. В единицах у нас получается 10, переносим 1 десяток в десятки, их становится 4.

В принципе, метод можно применять и для трёхзначных чисел и для более крупных чисел. Главное правильно выделять группы чисел и обращать внимание на перенос.

Принцип метода очень прост — группы пересечений дают порядок величин, скажем, пересечение линий десятков с линией единиц даст десятки, а пересечение линии десятков с линией десятков даст сотни. Количество точек даёт результат умножения. Так что остаётся только посчитать.

Но, согласитесь, насколько забавней (и быстрее) такой метод умножения, по сравнению с привычным столбиком!

День пи

Ну что, с праздником! Сегодня отмечается неофициальный праздник математиков, день числа Пи. Всё дело в том, что в американской записи дата 14 марта записывается как 3/14. Если ещё выбрать удачно момент, в 1:59, то дата и время образуют первые шесть знаков числа. Совсем уж гики могут ловить секунду 1:59:26 секунд, что дает уже семь знаков после запятой — 3,1415926.

Число пи родилось очень давно, сейчас уже трудно сказать когда именно. Практически как только человек научился рисовать окружности, он обнаружил, что соотношение длины окружности и её диаметра не меняется и всегда составляет чуть больше 3. Первые приближение сделали в Вавилоне (²⁵/₈) и в Египте (²⁵⁶/₈₁) примерно в 1900 году до нашей эры. В 3 веке всё ещё до нашей эры Архимед предложил простой способ оценить это число — вписывать в окружность и описывать вокруг неё правильные многоугольники, треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник и так далее. По мере увеличения количества углов многоугольники будут всё ближе приближаться к кругу, давая всё более и более точную оценку числа пи. Трудолюбивый Архимед добрался до 96-угольника и получил число примерно равное ²²/₇ (кстати, 7 июля можно отмечать день примерного пи).

Впрочем, азиаты как всегда всех переплюнули. В 3 веке уже нашей эры китаец с милым именем Liu Hui (Лю Хуэй) предложил алгоритм расчётов, в самостоятельных расчётах добрался до 3072-угольника (!) и получил шестизнак, который мы и празднуем сегодня — 3,14159. На некоторое время гонка приостановилась — до II тысячелетия было известно не более 10 цифр — но потом опять продолжилась.

Говорят, один слишком навязчивый аспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 655 537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением (хранится в архивах в Геттингене).

Индусы в лице Мадхавы из Сангамаграма в 1400-х годах погрузились в ряды и достигли 11 знаков. Персидская команда во главе с аль-Каши взяла 17 десятичных знаков в первой половине 15 века (Трактат об окружности, 1427). Европейцы достигли такой точности только через 150 лет, в 1597 году. Зато новую планку взял Лудольф Ван Цейлен, который нашел для числа пи 35 правильных десятичных знака, утомился (ещё бы, пришлось возиться с правильным 60·2²⁹-угольником!), сказал «У кого есть охота, пусть идёт дальше» и повелел украсить этим числом своё надгробие. Так что это приближение называется лудольфовым числом. В общем, к наступлению компьютерной эры число рассчитанных знаков в числе пи уверено перевалило за семь сотен, хотя только 527 были верными. Компьютеры значительно упростили расчёты. ЭНИАК в 1949 году дал 2037 цифр за 70 часов. Отметка в миллион была пройдена в 1973 году, а нынешний рекорд установлен в 2011 году на отметке 10 триллионов цифр после запятой. (Кстати, проведение расчётов с такими длинными числами — штука непростая, требует серьёзных навыков программирования).

Кстати, до своего 36-вечья число было безымянным. Только в 1706 году британский математик Джонс воспользовался обозначением этого числа греческой буквой π. Популяризировал же его  лет через 30 Леонард Эйлер. Обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

Параллельно с гонкой на точность шло и философское созерцание и постижение природы числа пи. Выяснилось, что оно — иррационально, то есть его нельзя представить в виде рациональной дроби. Во-вторых, выяснилось, что пи — трансцендентное число, то есть не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. В общем, непростым оказалось число пи, зато зело полезным. Так что можно с удовольствием отпраздновать его день праздничным пирогом. (Кстати, в английском языке число пи и слово «пирог» близки по звучанию, так что «pi pie» — любимая шутка американских математических интернетов).

Как логика жить помогает

В школе выдали задачку по физике, на моменты силы. Четыре инопланетянина с весами 100N, 200N, 300N и 400N забираются на качели. В качелях установлены кресла на расстоянии 1 и 2 метра от центра, сидеть можно только в них. Вопрос: может ли эта компашка инопланетян уравновесить качели?

В физическом плане задача проста — сумма моментов с левой и с правой стороны должна быть равна. В математическом плане тоже ничего сложного — момент силы равен произведению силы (веса) на плечо, то есть расстояние от центра качелей. А вот в тактическом плане — засада.

Дети начинают перебирать возможные варианты рассаживания пришельцев и, естественно, начинают путаться. Всего возможных вариантов размещения 24, хотя можно убрать симметричные варианты и останется 12. Всё равно многовато.

Однако, можно включить логику. Для крайних кресел сила умножается на 2, так что момент (вернее сотни моментов) всегда будут четными. Для кресел по центру сила умножается на 1, так что момент будет либо чётным, либо нечётным, в зависимости от того кого туда посадим. Так что возможных типов вариантов оказывается два, а самих вариантов — четыре (не рассматривая симметричные).

• ???, 100, 300, ???
• 200, 100, 300, 400
• 400, 100, 300, 200
• ???, 200, 400, ???
• 100, 200, 400, 300
• 300, 200, 400, 100

Для этих четырёх вариантов уже считаем моменты и убеждаемся, что ни в одном из них качели не уравновешиваются. Так простая логика позволяет снизить трудоёмкость задачи в три раза.

BTW: Докажите, что произведение двух нечётных чисел всегда будет нечётным.

"Измерение" Пол Локхарт

Туполев, гениальный авиаконструктор, как-то заметил «некрасивый самолёт не полетит». Что характерно, аналогичная связь между эстетикой и качеством прослеживается во многих, если не во всех, областях жизни. Яркий пример тому — индусский код. В общем, я не очень люблю некрасивые решения, и бывало сидел до утра, переписывая код в приятный глазу и процессору вид. Так вот, в школе у меня всегда была проблема с математикой в части доказательств. Они были откровенно уродливыми. Они были неинтересными. Я избегал их всеми силами и переходил к решению действительно интересовавших меня задач.

На днях мне пришла с Амазона книга «Measurement» за авторством Paul Lockhart, в которую я влюбился с первых страниц и которая стала моей настольной книгой. В ней нет громоздких доказательств, бесконечного перечисления точек, прямых и всего такого. Автор просто берёт интересную задачу («почему из правильных шестиугольника, квадрата и треугольника можно сложить идеальный узор») и ... просто рассказывает историю решения. Красиво и элегантно. Книга полна интересных интересных рассуждений и не менее вопросов, которые заставляют хвататься за карандаш и начинать рисовать и решать. Или, по крайней мере, пытаться решить.


Автор о книге, на английском языке. Я перевёл субтитры на русский, можно скачать здесь.

Заинтересовавшись автором, а начал искать другие его работы и нашёл его старое (2002, перепечатано в 2008 году) эссе «A Mathematician’s Lament» (сохранил в PDF) или «Плач математика» (сохранил в PDF). В этом эссе Пол сетует на то, что как неправильно преподаётся в школах математика (кстати, он работает в Нью-Йоркской школе св. Анны). Его основные тезисы:

• Математика преподаётся так, что целенаправленно убивает в детях интерес к предмету.
• Традиционно, математика преподаётся в виде формул и определений, которые надо заучивать без особого понимания смысла. Всё равно, как если бы музыке учили исключительно через нотную грамоту, без исполнения, а рисованию — через заучивание названий цветов, без собственно рисования.
• Естественно, в таком виде ученики натаскиваются исключительно на решение стандартных примеров для тестов, а не решение жизненных задач.
• Суть математики — в рассуждении и логике. Дети должны играть «в математику» и искать новые решения (пусть и приходя к старым, но самостоятельно), а не заучивать наизусть чужие решения и стандартные схемы (что есть прямой путь к «индусскому коду» в любых областях жизни). 

В качестве одного из примеров, он приводит задачу о вписаном в полукруг треугольнике — угол при вершине всегда будет прямым. Почему?

Стандартное решение напоминает телеграмму Алекса Юстасу. Решение, которое предложил его ученик из 7 класса (эквивалент нашего 5-го, как я понимаю) просто и элегантно:

Возьмем треугольник и перевернем его внутри круга так, что получится четырехугольник, вписанный в круг. Поскольку мы перевернули треугольник, противоположные стороны четырехугольника равны, то есть это параллелограмм. Но он не может быть наклонным, потому что его обе диагонали — диаметры круга, и, следовательно, равны. Значит, это прямоугольник, и все его углы прямые. Вот почему угол треугольника всегда прямой.

Эта книга является логическим продолжением эссе «Плач математика» — обозначив в эссе проблему, Пол в книге предлагает решения. Начав с простых геометрических фигур (в правильный треугольник вписаны три одинаковых окружности, каков их радиус?), он переходит к алгебре (нарисуйте картинку мозаики и докажите, что (x + y)² = x² + 2xy + y²). Дальше следуют трёхмерные фигуры, задачи на движение, интегралы и дифференциалы. К книге можно возвращаться снова и снова — разрешая простые задачи (почему произведение двух нечётных чисел всегда нечётное?), переходя к более сложным (каков максимальный размер окружности, которая может расположиться на дне параболы?) или предлагая более изящные решения для пройденных задач.

Я очень рад, что я наткнулся на эту книгу. Кстати, выпала она на меня случайно — я время от времени добавляю в заказ непривычные мне книги, вот и выбрал эту, ориентируясь на эстетичную обложку. Кому стоит читать эту книгу? Учителям и родителям — чтобы отойти от стандартных подходов в преподавании математики и поразмышлять с чадом над интересными вопросами. Самим детям книга может показаться не очень интересной, но задачи оттуда  могут прийтись по вкусу. Удачного чтения! (если эллипс имеет длинный радиус a и короткий радиус b, то где находятся его фокальные точки?)


P.S. К моему удивлению (или это просто подтверждение моей наивности?) в Интернетах не нашлось подробных обсуждений книги. Есть кружок чтения, но там всего три записи...