Панспермия или Мы таки из космоса?!

Спасатели работают на месте посадки «Бион-1М»
© Фото: Институт медико-биологических проблем РАН

Вопрос «откуда мы взялись на этой планете?» волнует умы учёных многие столетия. Сейчас наиболее распространённой и общепринятой является теория абиогенеза и химической эволюции, согласно которой первичные органические вещества появились из неоганических, затем собирались и постепенно усложнялись, пока не достигли способности к саморазможению и не начали эволюционировать. Альтернативная теория, панспермия, говорит о занесении жизни на Землю из Космоса — кометами, метеоритами или другими способами.

До сих пор самой большой проблемой был вопрос могут ли микроорганизмы преодолевать атмосферу Земли. Ведь при входе тел из космоса в атмосферу они разогреваются до огромных температур, порядка тысяч градусов. В 2013 году на орбиту был выведен аппарат Бион-1М (из большой серии аппаратов для биологических исследований «Бион»). Главной задачей аппарата считалась подтверждение или опровержение теории панспермии — эксперимент «Метеорит». Для этого в базальтовую оболочку «Биона» поместили «таблетки» со спорами бактерий. Во время входа в атмосферу обшивка корабля плавилась, вызывая условия сходные с входом метеорита в атмосферу Земли, что позволяло проверить гипотезу панспермии.

Обнародованные в октябре результаты (аппарат приземлился в впреле) показали, что как минимум один термофильный штамм микробов выжил. Правда, при снятии базальтовых «таблеток» с аппарата часть из них раскололась, поэтому часть штаммов была потеряна. Такие результаты ободрили учёных. Эксперимент будет повторно проведен на следующем биоспутнике — «Фотон». В космос будут отправленны искусственные метеориты — специальные пластины из базальта с маленькими отверстиями-туннелями, куда помещены споры бактерий. «Метеоритам», которые будут помещены на наружную поверхность спускаемого аппарата, предстоить преодолеть все тяготы космического путешествия — воздействие космической радиации и вакуума, вход в плотные слои атмосферы, рост температуры до тысяч градусов, перепады давления, перегрузки. Результаты эксперимента позволят сдеалать ещё один маленький шажок к пониманию кто мы и откуда.

Бдыщ! или railgun своими руками

Попалась такая замечательная картинка. Что тут происходит очень подробно и наглядно рассказывается в этом видео (правда, только на английском языке).

Борьба кита со слоном: теперь ИКая

В дополнению ко вчерашнему видео о кидании раскалённого шара на лёд обнаружилась аналогичная запись, но седланая тепловизором, в ИК диапазоне, который улавливает температуру объектов. Довольно интересное видео, видно как распространяется в массиве льда (который выглядит чёрным блоком) теплота (более светлые области) от раскалённой железной болванки.

Борьба кита со слоном

Кто из нас в детстве не задавался вопросом “а что если вот так...”, который вел к некоторым небезопасным экспериментам? Я вот хотел плюнуть в вулкан и посмотреть зашипит он или нет (осуществил на прошлой неделе, зашипел). Вот кто-то тоже заинтерисовался подобным вопросом. да так, что сделал целую серию видео “что будет, если раскалённый шар кинуть на...”. Для начала - на куб льда (проплавил), ну а потом в ход пошли арбуз (героически сопротивлялся), сахар (карамелизовался и сгорел), попкорн (просто сгорел, не взрываясь), и много чего ещё.

Пифагоровы штаны во все стороны равны.

Визуальное доказательство теоремы Пифагора - сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Очень наглядно.

Левитационная плавка металла

В дополнение к предыдущему посту видео индукционной плавки алюминия. Что же тут происходит? Металлическая заготовка помещается в переменное магнитное поле (создаваемое завитками катушки), которое возбуждает в заготовке вихревое электрическое поле. Эти вихревые (замкнутые внутри тел) токи выделяют теплоту по закону Джоуля-Ленца. Индукционный нагрев является прямым и бесконтактным, что положительно сказывается на качестве металла, так как он не загрязняется остатками топлива (например, угля). Такой нагрев позволяет достигать температуры, достаточной для плавления самых тугоплавких металлов и сплавов.



Ссылки по теме:

• Индукционный нагрев и индукционная плавка металлов
• Подробная статья на Википедии про индукционый нагрев
• Сайт производителя индукционных печей, там же много разного видео

Бросание магнита в медь

Попалось чумовое видео, выглядит завораживающе. Как будто время останавливается.

На самом деле всё довольно просто. При бросании магнита в медь возникает электромагнитная индукция (так как контур медного кольца замкнут), которая создаёт магнитное поле. В результате магнит как бы затормаживает в воздухе, но в конце концов гравитация (бессердечная сука!, как известно) всё-таки выигрывает.

Японский метод умножения

Прислали ссылку на отличное видео про японский метод умножения от небезызвестного Стаса  Давыдова.

В чем суть метода? Всё очень просто — рисуются наклонные линии, по количеству десятков и единиц. Первый множитель рисуется с левым уклоном, второй с правым, десятки левее, единицы правее. Затем отделяем самые левые пересечения, самые правые, и остаётся середина. Считаем количество точек на пересечениях и ... просто записываем результат, сотни (самая левая группа точек), десятки (серединные точки) и единицы (группа точек справа).

Метод работает и для больших двузначных чисел — в этом случае надо просто обратить внимание на перенос. В десятках у нас получается 23 десятка, 2 десятка переносим в сотни, остаётся 3 десятка. В единицах у нас получается 10, переносим 1 десяток в десятки, их становится 4.

В принципе, метод можно применять и для трёхзначных чисел и для более крупных чисел. Главное правильно выделять группы чисел и обращать внимание на перенос.

Принцип метода очень прост — группы пересечений дают порядок величин, скажем, пересечение линий десятков с линией единиц даст десятки, а пересечение линии десятков с линией десятков даст сотни. Количество точек даёт результат умножения. Так что остаётся только посчитать.

Но, согласитесь, насколько забавней (и быстрее) такой метод умножения, по сравнению с привычным столбиком!

День пи

Ну что, с праздником! Сегодня отмечается неофициальный праздник математиков, день числа Пи. Всё дело в том, что в американской записи дата 14 марта записывается как 3/14. Если ещё выбрать удачно момент, в 1:59, то дата и время образуют первые шесть знаков числа. Совсем уж гики могут ловить секунду 1:59:26 секунд, что дает уже семь знаков после запятой — 3,1415926.

Число пи родилось очень давно, сейчас уже трудно сказать когда именно. Практически как только человек научился рисовать окружности, он обнаружил, что соотношение длины окружности и её диаметра не меняется и всегда составляет чуть больше 3. Первые приближение сделали в Вавилоне (²⁵/₈) и в Египте (²⁵⁶/₈₁) примерно в 1900 году до нашей эры. В 3 веке всё ещё до нашей эры Архимед предложил простой способ оценить это число — вписывать в окружность и описывать вокруг неё правильные многоугольники, треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник и так далее. По мере увеличения количества углов многоугольники будут всё ближе приближаться к кругу, давая всё более и более точную оценку числа пи. Трудолюбивый Архимед добрался до 96-угольника и получил число примерно равное ²²/₇ (кстати, 7 июля можно отмечать день примерного пи).

Впрочем, азиаты как всегда всех переплюнули. В 3 веке уже нашей эры китаец с милым именем Liu Hui (Лю Хуэй) предложил алгоритм расчётов, в самостоятельных расчётах добрался до 3072-угольника (!) и получил шестизнак, который мы и празднуем сегодня — 3,14159. На некоторое время гонка приостановилась — до II тысячелетия было известно не более 10 цифр — но потом опять продолжилась.

Говорят, один слишком навязчивый аспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 655 537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением (хранится в архивах в Геттингене).

Индусы в лице Мадхавы из Сангамаграма в 1400-х годах погрузились в ряды и достигли 11 знаков. Персидская команда во главе с аль-Каши взяла 17 десятичных знаков в первой половине 15 века (Трактат об окружности, 1427). Европейцы достигли такой точности только через 150 лет, в 1597 году. Зато новую планку взял Лудольф Ван Цейлен, который нашел для числа пи 35 правильных десятичных знака, утомился (ещё бы, пришлось возиться с правильным 60·2²⁹-угольником!), сказал «У кого есть охота, пусть идёт дальше» и повелел украсить этим числом своё надгробие. Так что это приближение называется лудольфовым числом. В общем, к наступлению компьютерной эры число рассчитанных знаков в числе пи уверено перевалило за семь сотен, хотя только 527 были верными. Компьютеры значительно упростили расчёты. ЭНИАК в 1949 году дал 2037 цифр за 70 часов. Отметка в миллион была пройдена в 1973 году, а нынешний рекорд установлен в 2011 году на отметке 10 триллионов цифр после запятой. (Кстати, проведение расчётов с такими длинными числами — штука непростая, требует серьёзных навыков программирования).

Кстати, до своего 36-вечья число было безымянным. Только в 1706 году британский математик Джонс воспользовался обозначением этого числа греческой буквой π. Популяризировал же его  лет через 30 Леонард Эйлер. Обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

Параллельно с гонкой на точность шло и философское созерцание и постижение природы числа пи. Выяснилось, что оно — иррационально, то есть его нельзя представить в виде рациональной дроби. Во-вторых, выяснилось, что пи — трансцендентное число, то есть не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. В общем, непростым оказалось число пи, зато зело полезным. Так что можно с удовольствием отпраздновать его день праздничным пирогом. (Кстати, в английском языке число пи и слово «пирог» близки по звучанию, так что «pi pie» — любимая шутка американских математических интернетов).

Как логика жить помогает

В школе выдали задачку по физике, на моменты силы. Четыре инопланетянина с весами 100N, 200N, 300N и 400N забираются на качели. В качелях установлены кресла на расстоянии 1 и 2 метра от центра, сидеть можно только в них. Вопрос: может ли эта компашка инопланетян уравновесить качели?

В физическом плане задача проста — сумма моментов с левой и с правой стороны должна быть равна. В математическом плане тоже ничего сложного — момент силы равен произведению силы (веса) на плечо, то есть расстояние от центра качелей. А вот в тактическом плане — засада.

Дети начинают перебирать возможные варианты рассаживания пришельцев и, естественно, начинают путаться. Всего возможных вариантов размещения 24, хотя можно убрать симметричные варианты и останется 12. Всё равно многовато.

Однако, можно включить логику. Для крайних кресел сила умножается на 2, так что момент (вернее сотни моментов) всегда будут четными. Для кресел по центру сила умножается на 1, так что момент будет либо чётным, либо нечётным, в зависимости от того кого туда посадим. Так что возможных типов вариантов оказывается два, а самих вариантов — четыре (не рассматривая симметричные).

• ???, 100, 300, ???
• 200, 100, 300, 400
• 400, 100, 300, 200
• ???, 200, 400, ???
• 100, 200, 400, 300
• 300, 200, 400, 100

Для этих четырёх вариантов уже считаем моменты и убеждаемся, что ни в одном из них качели не уравновешиваются. Так простая логика позволяет снизить трудоёмкость задачи в три раза.

BTW: Докажите, что произведение двух нечётных чисел всегда будет нечётным.

"Измерение" Пол Локхарт

Туполев, гениальный авиаконструктор, как-то заметил «некрасивый самолёт не полетит». Что характерно, аналогичная связь между эстетикой и качеством прослеживается во многих, если не во всех, областях жизни. Яркий пример тому — индусский код. В общем, я не очень люблю некрасивые решения, и бывало сидел до утра, переписывая код в приятный глазу и процессору вид. Так вот, в школе у меня всегда была проблема с математикой в части доказательств. Они были откровенно уродливыми. Они были неинтересными. Я избегал их всеми силами и переходил к решению действительно интересовавших меня задач.

На днях мне пришла с Амазона книга «Measurement» за авторством Paul Lockhart, в которую я влюбился с первых страниц и которая стала моей настольной книгой. В ней нет громоздких доказательств, бесконечного перечисления точек, прямых и всего такого. Автор просто берёт интересную задачу («почему из правильных шестиугольника, квадрата и треугольника можно сложить идеальный узор») и ... просто рассказывает историю решения. Красиво и элегантно. Книга полна интересных интересных рассуждений и не менее вопросов, которые заставляют хвататься за карандаш и начинать рисовать и решать. Или, по крайней мере, пытаться решить.


Автор о книге, на английском языке. Я перевёл субтитры на русский, можно скачать здесь.

Заинтересовавшись автором, а начал искать другие его работы и нашёл его старое (2002, перепечатано в 2008 году) эссе «A Mathematician’s Lament» (сохранил в PDF) или «Плач математика» (сохранил в PDF). В этом эссе Пол сетует на то, что как неправильно преподаётся в школах математика (кстати, он работает в Нью-Йоркской школе св. Анны). Его основные тезисы:

• Математика преподаётся так, что целенаправленно убивает в детях интерес к предмету.
• Традиционно, математика преподаётся в виде формул и определений, которые надо заучивать без особого понимания смысла. Всё равно, как если бы музыке учили исключительно через нотную грамоту, без исполнения, а рисованию — через заучивание названий цветов, без собственно рисования.
• Естественно, в таком виде ученики натаскиваются исключительно на решение стандартных примеров для тестов, а не решение жизненных задач.
• Суть математики — в рассуждении и логике. Дети должны играть «в математику» и искать новые решения (пусть и приходя к старым, но самостоятельно), а не заучивать наизусть чужие решения и стандартные схемы (что есть прямой путь к «индусскому коду» в любых областях жизни). 

В качестве одного из примеров, он приводит задачу о вписаном в полукруг треугольнике — угол при вершине всегда будет прямым. Почему?

Стандартное решение напоминает телеграмму Алекса Юстасу. Решение, которое предложил его ученик из 7 класса (эквивалент нашего 5-го, как я понимаю) просто и элегантно:

Возьмем треугольник и перевернем его внутри круга так, что получится четырехугольник, вписанный в круг. Поскольку мы перевернули треугольник, противоположные стороны четырехугольника равны, то есть это параллелограмм. Но он не может быть наклонным, потому что его обе диагонали — диаметры круга, и, следовательно, равны. Значит, это прямоугольник, и все его углы прямые. Вот почему угол треугольника всегда прямой.

Эта книга является логическим продолжением эссе «Плач математика» — обозначив в эссе проблему, Пол в книге предлагает решения. Начав с простых геометрических фигур (в правильный треугольник вписаны три одинаковых окружности, каков их радиус?), он переходит к алгебре (нарисуйте картинку мозаики и докажите, что (x + y)² = x² + 2xy + y²). Дальше следуют трёхмерные фигуры, задачи на движение, интегралы и дифференциалы. К книге можно возвращаться снова и снова — разрешая простые задачи (почему произведение двух нечётных чисел всегда нечётное?), переходя к более сложным (каков максимальный размер окружности, которая может расположиться на дне параболы?) или предлагая более изящные решения для пройденных задач.

Я очень рад, что я наткнулся на эту книгу. Кстати, выпала она на меня случайно — я время от времени добавляю в заказ непривычные мне книги, вот и выбрал эту, ориентируясь на эстетичную обложку. Кому стоит читать эту книгу? Учителям и родителям — чтобы отойти от стандартных подходов в преподавании математики и поразмышлять с чадом над интересными вопросами. Самим детям книга может показаться не очень интересной, но задачи оттуда  могут прийтись по вкусу. Удачного чтения! (если эллипс имеет длинный радиус a и короткий радиус b, то где находятся его фокальные точки?)


P.S. К моему удивлению (или это просто подтверждение моей наивности?) в Интернетах не нашлось подробных обсуждений книги. Есть кружок чтения, но там всего три записи...

Как посадить космический корабль по наручным часам

«Да ну ту математику, зачем она нужна?!« — часто жалуются детишки. Ну что ж, если они готовятся к жизни, в которой нет места математике, то мне их просто жалко, ибо такая жизнь — полный отстой.

Всего 50 лет назад началось освоение космоса, техника была экспериментальной, отказы случались часто. В мае 1963 года американцы запустили «Меркурий-Атлас-9», последний в серии кораблей Меркурий, первой пилотируемой программе НАСА. Управлял короблём простой американский парень Гордон Фримен Купер. На 20-ом витке вокруг Земли Купер увидел, что все индикаторы погасли. На 21-ом витке стало ясно, что произошло короткое замыкание в 250-вольтовой шине главного преобразователя. Это стало серьезной проблемой, так как в корабле Гордона отказала электроника. Вся. Полностью. То есть совсем. А надо сказать, космические аппараты, используемые в этой программе, не были предназначены для управления со стороны пилота – вся аппаратура была полностью автоматической.

В ослепшем и затихшем корабле система управления осталась без электроэнергии и стабилизация космического корабля в автоматическом режиме стала невозможной. Не работали ни коррекция направления, ни контроль двигателей, ни даже приборы, которые показывали бы ему, в какую сторону он летит. Единственное, что продолжало работать – это радио, подключенное напрямую к батареям питания. Купер не стал тратить драгоценное время на панику. Он связался с другим космонавтом Джоном Гленном, находившемся на на борту сторожевика «Квебек», и начал делать необходимое — готовиться вручную сажать аппарт массой 1360 кг, несущийся по орбите с сумасшедшей скоростью 7850 м/с или 28250 км/час (виток вокруг Земли занимал около 90 минут).

Сориентировав окно капсулы в сторону звезд, Купер нанес на него отметки, и стал управлять ускорителями, дотягиваясь до топливных клапанов и вручную открывая и закрывая их, используя ... свои наручные часы чтобы замерять время их работы. Контрольный алгоритм действий для торможения был полностью выполнен. Гленн начал десятисекундный обратный отсчет на включение тормозных двигателей. Купер сохранял ориентацию Космического корабля с наклоном в 34° к траектории полета, и произнеся фразу «Начали!», вручную запустил тормозные двигатели.

Во время входа в атмосферу – а это, пожалуй, наиболее тяжелое испытание для человеческого тела – ему также пришлось вручную открывать тормозной и основной парашюты и посадочную подушку – при том, что у каждого из этих действий было только два возможных исхода – «сделал идеально» и «превратился в лепешку». И какова же была реакция самого Купера на этот смертельно опасный математический тест?

«…ну, это то, что мы все время хотели попробовать сделать. Так что у меня просто появилась возможность сделать то, что всегда хотелось.»

Через пятнадцать минут после начала аппарат приводнился всего четырёх милях (6 км) от Главного судна «Службы поиска и спасения при приземлении», военного корабля США - авианосца Kearsarge. Несмотря на отсутствие режима автоматического управления, это было самое точное приземление до настоящего момента.

Вы всё ещё считаете математику бесполезной?



Скомпилировано из различных источников в Интернетах.
Ссылки по теме:

• Хронология космических исследований
• Программа «Меркурий»  на Википедии
• Хронология программы «Меркурий» на сайте НАСА (англ.)
• habrahabr: Космонавты, которые намного круче чем любой герой боевика

Логарифмы: цифры, линейки, шкалы

В старшей школе я рвался в математический класс, но оказался в химическом. О чём не пожалел ни разу — математику у нас вёл самый сильный математик школы Борис Григорьевич Резник (или просто БГ).

«Доставайте листочки», говорил БГ, «и проводите поля. Это гарантирует вам оценку 2. Если вы напишете условия задачи, то гарантировано получаете 3. Вот задачи на 4. Те кто хочет 5, подходят за дополнительными задачами. А вот ещё одна, на 5+, для тех кто решил предыдущие.» Понимание того, что для перехода на другой уровень нужны всё возрастающие усилия очень помогло в дальнейшей жизни... а также понять что такое логарифмы.

Логарифмы нелюбимы школьниками за свою непонятность — решаешь, решаешь, а зачем — непонятно! Какое практическое применение? Оказывается, у логарифма есть множество применений, причём в различных областях наук и практики — как в хардкорной физике и химии, так и в «мягких» психологии, биологии, экономике.

Для начала, вспомним что такое логарифм? Логарифм говорит нам в какую степень нам надо возвести число a, чтобы получить другое число b. То есть решением уравнения a^x=b по определению является логарифм x=log_a(b). И тут начинается самое интересное.

Оказывается, что многое в нашем мире описывается не линейным соотношением, а именно логарифмической функцией. То есть важно не насколько отличаются два числа (линейная шкала), а на сколько порядков величин они различаются (логарифмическая шкала).

В физике логарифм фигурирует в термодинамической энтропии. В химии он входит в уравнение Нернста и в константу автопротолиза. Слышали в рекламе про мыло «пэаш 5 и 5»? Кто этот господин Пэаш? А это отрицательный логарифм концентрации ионов водорода в растворе, pH=-lg([H⁺]), то есть, грубо говоря, показатель того, насколько много у нас там «кислотности» — чуть-чуть, немного, много, очень много.

Человеческое восприятие многих явлений хорошо описывается логарифмическим законом.  Интенсивность наших ощущений пропорциональна логарифму интенсивности стимула —  громкости звука, яркости света и так далее (закон Вебера--Фехнера). Так что не сильно ругайте своих тусящих детей, ставящих музыку на полную громкость — чтобы ощущения стали немного сильнее, им приходится увеличивать громкость в разы.

В экономике логарифмическим доходом может описываться закон убывающей производительности — отдача на каждый дополнительный доллар вложений будет всё меньше и меньше. Для качества жизни разница между 100 и 200 долларами дохода менее значима, чем разница на порядок, между 200 и 1000 долларами. Например, два графика ниже показывают ожидаемую продолжительность жизни по вертикальной шкале и ВВП на душу населения по горизонтальной шкале. В первом графике шкала доходов линейная и какую-то корреляцию заметить трудно. Во втором случае шкала логарифмическая и ясно видна связь — при увеличении доходов на порядок продолжительность жизни увеличивается.

Данные из Data Explorer от Google и ПРООН.

Второе очень важное свойство логарифмов заключается в том, что при переходе от степеней к логарифмам операция умножения заменяется операцией сложения, которая является гораздо менее трудоёмкой. Например, попробуйте умножить в столбик 8192 и 131072. И сложить 13 и 17, так как 8192=2¹³ и 131072=2¹⁷. То-то же! Ещё Архимеду было известно, что при перемножении степеней их показатели складываются, то есть a^b•a^c=a^b+c. В Индии в VIII веке были попытки сводить значения степеней в таблицы — ведь поиск по таблице пусть и приблизительного значения занимает гораздо меньше времени, чем точное численное решение. Однако, большие подвижки в этой области произошли только в XVI--XVII веке. Во-первых, математики подошли к идее, что степени могут быть не только целыми, но и произвольными рациональными (что предложил Михаэль Штифель в 1544 году в своей книге Arithmetica integra). Во-вторых, целый ряд математиков стал использовать таблицы логарифмы для упрощения сложных операций — умножения и деления больших чисел, возведения в степени и извлечения корней. Кстати, стоит поблагодарить и ... астрологию. Именно для упрощения астрологических вычислений в конце XVI-начале XVII века шотландский математик Джон Непер рассчитал таблицы логарифмов тригонометрических функций.

Дальше развитие пошло двумя путями. Тогдашние нерды погрузились в расчёты, добавляя дополнительные знаки после запятой в точные значения логарифмов и уточняя таблицы (как оказалось, Непер налажал и после 6 знака у него в таблицах были неверные значения). С другой стороны, гики стали мастерить приборы для вычислений. Уже в 1622 году английский математик Уильям Отред разработал первый вариант логарифмической линейки, которая позволяла быстро делать различные сложные вычисления. В СССР, наладившем массовое производство инженеров, логарифмическая линейка была распространена повсеместно. Состояла она из двух неподвижных шкал, одной подвижной и бегунка. С её помощью, при определённой сноровке можно было выполнять базовые математические операции — умножать, делить, возводить в степени, извлекать корни и так далее.

Картинка утащена из жж soviet-life.

У меня дома была такая линейка, но пользоваться ей я так и не научился — в 80-х вычислительная техника начала неумолимо выдавливать из практики этот прибор. Поступив в Университет, я первым делом купил научный калькулятор Texas Instrument (за какие-то бешеные деньги, вроде 50 тыс. купонов) и там уже были и логарифмы и регрессии и что угодно.



Ещё о логарифмах:
Статья про логарифмы на Википедии
Статья про логарифмические линейки на Википедии
Фотографии «Логарифмическая линейка — советский калькулятор»