"Измерение" Пол Локхарт

Туполев, гениальный авиаконструктор, как-то заметил «некрасивый самолёт не полетит». Что характерно, аналогичная связь между эстетикой и качеством прослеживается во многих, если не во всех, областях жизни. Яркий пример тому — индусский код. В общем, я не очень люблю некрасивые решения, и бывало сидел до утра, переписывая код в приятный глазу и процессору вид. Так вот, в школе у меня всегда была проблема с математикой в части доказательств. Они были откровенно уродливыми. Они были неинтересными. Я избегал их всеми силами и переходил к решению действительно интересовавших меня задач.

На днях мне пришла с Амазона книга «Measurement» за авторством Paul Lockhart, в которую я влюбился с первых страниц и которая стала моей настольной книгой. В ней нет громоздких доказательств, бесконечного перечисления точек, прямых и всего такого. Автор просто берёт интересную задачу («почему из правильных шестиугольника, квадрата и треугольника можно сложить идеальный узор») и ... просто рассказывает историю решения. Красиво и элегантно. Книга полна интересных интересных рассуждений и не менее вопросов, которые заставляют хвататься за карандаш и начинать рисовать и решать. Или, по крайней мере, пытаться решить.


Автор о книге, на английском языке. Я перевёл субтитры на русский, можно скачать здесь.

Заинтересовавшись автором, а начал искать другие его работы и нашёл его старое (2002, перепечатано в 2008 году) эссе «A Mathematician’s Lament» (сохранил в PDF) или «Плач математика» (сохранил в PDF). В этом эссе Пол сетует на то, что как неправильно преподаётся в школах математика (кстати, он работает в Нью-Йоркской школе св. Анны). Его основные тезисы:

• Математика преподаётся так, что целенаправленно убивает в детях интерес к предмету.
• Традиционно, математика преподаётся в виде формул и определений, которые надо заучивать без особого понимания смысла. Всё равно, как если бы музыке учили исключительно через нотную грамоту, без исполнения, а рисованию — через заучивание названий цветов, без собственно рисования.
• Естественно, в таком виде ученики натаскиваются исключительно на решение стандартных примеров для тестов, а не решение жизненных задач.
• Суть математики — в рассуждении и логике. Дети должны играть «в математику» и искать новые решения (пусть и приходя к старым, но самостоятельно), а не заучивать наизусть чужие решения и стандартные схемы (что есть прямой путь к «индусскому коду» в любых областях жизни). 

В качестве одного из примеров, он приводит задачу о вписаном в полукруг треугольнике — угол при вершине всегда будет прямым. Почему?

Стандартное решение напоминает телеграмму Алекса Юстасу. Решение, которое предложил его ученик из 7 класса (эквивалент нашего 5-го, как я понимаю) просто и элегантно:

Возьмем треугольник и перевернем его внутри круга так, что получится четырехугольник, вписанный в круг. Поскольку мы перевернули треугольник, противоположные стороны четырехугольника равны, то есть это параллелограмм. Но он не может быть наклонным, потому что его обе диагонали — диаметры круга, и, следовательно, равны. Значит, это прямоугольник, и все его углы прямые. Вот почему угол треугольника всегда прямой.

Эта книга является логическим продолжением эссе «Плач математика» — обозначив в эссе проблему, Пол в книге предлагает решения. Начав с простых геометрических фигур (в правильный треугольник вписаны три одинаковых окружности, каков их радиус?), он переходит к алгебре (нарисуйте картинку мозаики и докажите, что (x + y)² = x² + 2xy + y²). Дальше следуют трёхмерные фигуры, задачи на движение, интегралы и дифференциалы. К книге можно возвращаться снова и снова — разрешая простые задачи (почему произведение двух нечётных чисел всегда нечётное?), переходя к более сложным (каков максимальный размер окружности, которая может расположиться на дне параболы?) или предлагая более изящные решения для пройденных задач.

Я очень рад, что я наткнулся на эту книгу. Кстати, выпала она на меня случайно — я время от времени добавляю в заказ непривычные мне книги, вот и выбрал эту, ориентируясь на эстетичную обложку. Кому стоит читать эту книгу? Учителям и родителям — чтобы отойти от стандартных подходов в преподавании математики и поразмышлять с чадом над интересными вопросами. Самим детям книга может показаться не очень интересной, но задачи оттуда  могут прийтись по вкусу. Удачного чтения! (если эллипс имеет длинный радиус a и короткий радиус b, то где находятся его фокальные точки?)


P.S. К моему удивлению (или это просто подтверждение моей наивности?) в Интернетах не нашлось подробных обсуждений книги. Есть кружок чтения, но там всего три записи...